Úkol č. 13

Křívky IS, LM

Které veličiny ovlivní sklon, resp. posun křivky IS, resp. LM. Snažte se formulovat ekonomickou situaci, tu převeďte do mluvy lineárního modelu. Všechno kreslete, popisujte, zdůvodňujte. 

Modelovat můžete také polohy funkcí poptávky pro změny zafixování tzv. "cizích" veličin (AD pro různá i, resp. L pro různá Y).

Můžete navazovat na práce svých spolužáků.

  Křívka IS

Křivka IS

Závislost sklonu IS na velikosti alfa

Závislost sklonu IS na citlivost b

Posun křivky IS

Křivka LM

Křívka LM

Úkol č. 7

Akumulace kapitálu

Toková veličina je taková ekonomická veličina, jejíž velikost je měřena za ČASOVÉ OBDOBÍ. TOK INVESTIC může být například měřen velikostí investičních výdajů za rok. Termín se používá proto, aby se zdůraznil rozdíl od stavových veličin, které měří ekonomickou veličinu (peněžní zásobu) jako fyzické množství existující v daném ČASOVÉM OKAMŽIKU.

U TOKOVÉ VELIČINY je velikost měřena za časové období – FUNKCE ČASU.

U STAVOVÉ VELIČINY je to fyzické množství v daném časovém okamžiku – FUNKČNÍ HODNOTA.

NAPŘÍKLAD:

Konkrétně zvolený kapitálový tok
                        K (t) = t ² + 3.

Konkrétně zvolenou hodnotu kapitálu
                        K (1) = 4.

Tabulka

Graf

Jak souvisí předchozí výklad s termínem AKUMULACE KAPITÁLU?

Velikost akumulovaného kapitálu je rozdílem dvou funkčních hodnot kapitálového toku, tj. rozdílem  

K₂ – K₁ .

Abychom mohli o akumulaci hovořit, musí být určen čas, za který se velikost akumulovaného kapitálu vyhodnocuje.

Graf

Ani po tom všem stále neumíme určit velikost akumulovaného kapitálu

PROBLÉMEM je ten, že v praxi není znám kapitálový tok, nýbrž pouze tok INVESTIČNÍ!

Co je to tok investiční a jaký je VZTAH mezi tokem kapitálovým a investičním?

INVESTICE nejčastěji označují TOK VÝDAJŮ, který má zvýšit nebo udržet Reálnou kapitálovou zásobu.

Investice jsou TOKOVOU veličinou, tvořenou projekty, jejichž VNITŘNÍ VÝNOSOVÁ MÍRA JE VĚTŠÍ NEŽ ÚROKOVÁ SAZBA.

INVESTIČNÍ TOK je tedy změna KAPITÁLU či kapitálového toku v ČASE a změna je přece PŘÍRŮSTEK, který značíme delta. Přesněji řečeno přírůstek kapitálu od jednoho času ke druhému, tj. za přírůstek času.

Investiční tok jsme určovali pro čas měnící se SKOKEM, tj. NESPOJITĚ (t₂ je např. rok 2004, t₁ např. rok 2003, ale také to mohlo být „dnes“ a „včera“ nebo „teď“ a „před minutou“ apod.) . Investiční tok však můžeme měřit PŘESNĚJI. V každou chvíli. Jestliže sledujeme čas jako veličinu, která se nemění skokově (nespojitě), ale SPOJITĚ – čas prostě plyne…

Jak vyjádřit přechod ke SPOJITÉMU přístupu MATAMATICKY?

Obvyklejší, přirozenější je to, co mohu využít, když „peču housky na krámě“. Který z přístupů to je? Samozřejmě NESPOJITÝ: zjistím např., jaký mám zisk ze svého úsilí, a to dneska, zítra, pozítří, tak jako jsem to udělala včera či předevčírem.

Přístup SPOJITÝ je v podstatě teoretickým rozšířením např. předchozího měření zisku, a to tak, že jej zjišťuji nepřetržitě, stále, v každém okamžiku.  A opět uplatníme stejný přístup jako byl zdůrazněn v minulém shrnutí – zapišme totéž, co umíme říct běžnou řečí, protože je to logické, MATEMATICKÝM ZÁPISEM.

Principem spojitého přístupu je mizící SKOK od jednoho měření ke druhému. Funkční hodnoty se nehledají „teď“ a pak zase až „za chvíli“, ale „pořád“.
Neměří se po skocích, ale po „nekonečně malých“ skocích, nekonečně malých přírůstcích (nezávisle proměnné).

Co je nezávisle proměnnou? Čas.

Co je přírůstek – např. času? delta t.

Úkol č. 12

Odvoďte multiplikační efekt ve tří sektorové ekonomice (případně s konkrétními čísly). Postupně můžete nejen "stavět nemocnici", ale také měnit velikost transferů, resp. autonomních daní, ba dokonce daňovou sazbu. Kdy se AD pouze posunuje, kdy se dokonce otáčí?
Multiplikační efekt vyznačte graficky.
DOPLNĚNÍ ÚKOLU (každý nechť má zápisky a hl. obrázky ke každé z těchto situací!): Analyzujte multiplikační efekty pro

1. změnu některých z autonomních výdajů (1-3 sektorová ekonomika)
2. změna mpc (zvýší se multiplikační efekt nebo sníží, proč?)
3. změna t (zvýší se multiplikační efekt nebo sníží, proč?)

Každou ze zakreslených situací si napište symbolicky (jako informaci, kterou stojí za to si zapamatovat), např. zvýšení mpc znamená strmější spotřební funkci, tzn. průsečíky pro rovnováhu jsou dále od sebe, tj. multiplikační efekt na důchod se pro větší mpc zesiluje - zapište v symbolech šipek, implikací atd.

Úkol č. 11

Příklady k postupnému procvičování

• Zvol funkci rostoucí, resp. klesající a urči graficky jejich elasticity (viz přednáškové slidy).
• Zvol funkci nabídky (kvadratickou) a urči její elasticitu jako funkci, pak v jednom bodě - početně, graficky (viz příklad ze cvičení).
• Skupinový příklad pro změny diskrétní (pro poslední dodatečnou jednotku, viz Vaše ekonomické příklady, např. o snižování cen letenek apod.) - jen pro zájemce (nemusíte).
• Paradox velké úrody, resp. snížení poplatků za telefon (velmi často bývá na písemkách)!!!

Elasticita funkce 

Grafické znázornění obecně

Početně a graficky na příkladu

Paradox velké úrody

Farmář sklidil velkou úrodu a těšil se vysoký zisk, k jeho údivu se dostavil se opačný efekt. Nadprůměrný zisk jej nečekal. Vzhledem k poklesu ceny díky velké úrodě (ZVÝŠENÍ NABÍDKY), vzrostlo poptávané množství jen nepatrně (proč by si lidé dělali zbytečně velké zásoby, které by se jim mohly shnít).  Poptávka po tomto zboží je NEPRUŽNÁ.

Grafické znázornění:

Paradox velké úrody

Popis grafu: Jak můžeme vidět v grafu, cena se snížila z úrovně P1 na úroveň P2. Pokles ceny je velký. Naopak množství se zvýšilo nepatrně z úrovně Q1 na úroveň Q2.

Snížení poplatků za telefon


Pokud mobilní operátoři SNÍŽÍ cenu hovorů, dojde v prudkému růstu provolaných minut ze strany zákazníků, kteří začnou využívat telekomunikačních služeb mnohem více. Zákazníkům rostou NÁKLADY a mobilním operatorům ZISK.



Grafické znázornění:

Snížení poplatků za telefon

Popis grafu: V grafu výše je vidět snížení ceny z úrovně P1 na P2 na nezávisle proměnné, které nebylo moc výrazné. Naopak změna na závisle proměnné, kde Q1 vzorstlo na úroveň Q2, byla mnohem výraznější.

Úkol č. 10

 Vztah funkce mezní a průměrné

Kreslete sady obrázků Mf a Af a žádejte po svých kolezích ve skupince í výběr správné odpovědi.

Úkol č. 9

Vztah mezi veličinami průměrnými a mezními


Řešený úkol z přednášky

Úkol č. 8

Výpočtem hledejte maximální zisk pomocí dvou metod:

1. MC = MR (ekonomické pravidlo)
2. Hledání extrému funkce (využití diferenciálního počtu)

a hledejte spojitosti obou výpočtů.

Zakreslete pod sebe 3 související grafy a do nich VŠECHNY RELEVANTNÍ ÚDAJE A SOUVISLOSTI (POPIŠTE CO NEJVÍCE):

1. TR, TC
2. MR, MC
3. zisk pi

Hledejte pro funkce:

• TR = 11 300 Q - 22Q²
• TC = 4 Q³ - 16 Q² + 140 Q + 1780

Úkol č. 6

Úkolem č. 6 bylo pochopit pojem "HLADKOST" a dokázat jej vysvětlit exaktně.


Hladká funkce

HLADKÁ FUNKCE je spojitá, má-li ve všech bodech SPOJITOU DERIVACI. ÚHLY tečen i jejich tangens (= hodnoty derivace funkce f pro postupně volená x) se mění spojitě.


Grafické zobrazení:

Hladká funkce

Lomená čára

Derivace LOMENÉ ČÁRY NENÍ SPOJITÁ, protože úhly tečen se mění SKOKEM (dlouho sedí na jedné hladině a až ve zlomu se změní).

Grafické znazornění:

Lomená čára

Příklady


V tomto příkladě je grafem funkce LOMENÁ ČÁRA, tzn. že její derivace NENÍ SPOJITÁ.

Příklad č. 1

 
Na obrázku níže můžeme vidět, že grafem funkce je HLADKÁ KŘIVKA, tzn. že její derivace SPOJITÁ JE.

Příklad č. 2

ÚKOL Č. 5

Spotřební funkce a její proměnné

Ze začátku bychom si měli osvěžit něco málo o spotřební funkci a jejích proměnných. 

Spotřební funkce je makroekonomická veličina, na vlastní kapse se však o spotřebě uvažuje lépe, proto bude využívána i v dalším popisu.

My jako spotřebitelé spotřebováváme podle toho, co máme „v kapse“. V obecné makroekonomii ovšem řekneme spotřeba (C) ZÁVISÍ na důchodu (Y).

Důchod je tedy Y a je nezávisle proměnná a spotřeba C je závisle proměnná.

Funkce f vyjadřuje vztah, který mezi proměnnými existuje. Tento vztah zaznačíme jako:

C = f (Y).

Spotřební funkce NEPROCHÁZÍ počátkem, ale vychází z hodnoty na ose C větší než nula (bod X). 

I při nulovém důchodu musí existovat spotřeba. Spotřeba při nulovém důchodu se nazývá AUTONOMNÍ.

Jak je možné spotřebovávat, když je důchod nulový? Kde se bere na spotřebu? Ve dvousektorové ekonomice (zde se nyní modelově nacházíme) nepřichází v úvahu žádné sociální dávky nebo něco blízkého – kde tedy můžeme vzít? Jedině z úspor!

Při nulovém důchodu potřebujeme na spotřebu hodnotu C₀. Tuto hodnotu spotřeby lze realizovat jedině tak, že ji vezmeme z úspor. Úspory proto v tu chvíli musí mít stejnou hodnotu jako spotřeba, ale zápornou – prostě tolik chybí.

Již víme, že při nulovém důchodu spotřebováváme na dluh. Uvažujme, že důchod roste, již má nějakou hodnotu – stále však žijeme na dluh, tedy z úspor. Jak dlouho? Kdy to skončí?

Pro hodnotu, nazývanou rovnovážný důchod se přestává spotřebovávat z úspor.

1. Lineární spotřební funkce s autonomní spotřebou, mezní sklon ke spotřebě

2. Lineární spotřební funkce i s úspory

Popis obrázku 1: „C0“ je autonomní spotřeba. „c“ označuje mezní sklon ke spotřebě – v ekonomii. Lineární funkce je matematicky vyjádřena jako y = k . x + q, kde k je směrnice přímky, (derivace) neboli její sklon.  C je stejné jako k a C0 je totéž jako q.     Mezní sklon ke spotřebě u lineární funkce   Mezní sklon ke spotřebě také značený MPC říká, jaký je SKLON SPOTŘEBOVÁVAT tzn. popisuje rychlost změn spotřební funkce v každém jejím bodě. U lineární funkce je mezní sklon konstantní, jelikož přírůstky závisle proměnné deltaC odpovídají stále stejným jednotkovým přírůstkům nezávisle proměnné deltaY. MPC je menší než 1, protože: 1=mpc + mps Je správné kreslit PŘÍMKU Důležité je si zodpovědět otázku: „Je správné kreslit spotřebu jako přímku, je spotřební funkce lineární?“ jak by se tázal matematik. NIKOLIV. Proč? Lineární funkce znamená, že ke stejně velkému přírůstku nezávisle proměnné (delta x) náleží stále stejně velký přírůstek závisle proměnné (delta y).  „Zvětší-li se důchod o 1 000 Kč, nezáleží na tom, zda jsem chudý nebo boháč, stále spotřebuji z tohoto dodatečného tisíce stejný kus“, říká lineárnost funkce. To však není pravda. Jsem-li chudý, nebo mám-li dokonce dluhy, každý další tisíc („dodatečná jednotka“, jak by řekl ekonom) hned utratím, ale jsem-li boháč, kus uspořím, uložím (a stanu se ještě bohatším, ale to sem nepatří). Nelineární spotřební funkce Nelineární spotřební funkce se zachycením autonomní spotřeby a úspor Funkční předpis pro spotřební a  úsporovou funkci Matematický zápis spotřební funkce C: C = ln (Y + 1) + 2,   Y >0   (důchod je vždy kladný) Matematický zápis úsporové funkce S: S = Y – [ln (Y + 1) + 2],   Y >0   (důchod je vždy kladný) Vydělám Y, utratím C. To, co zbude, „ušetřím“. Bude to S. Proto mi vznikne rovnice S = Y - C Ekonom využívá ke svému rozhodování a řízení sklon průměrný (na intervalu) a sklon mezní (v bodě).První sklon je méně přesný. Mezní sklon je využíván častěji. Mezní sklon každé spojité diferencovatelné funkce obdržíme jejím derivováním. DERIVACE spotřební funkce tj. mezní sklon ke spotřebě je dán vztahem: Místo C´ se používá MPC. Víme, že důchod Y je vždy kladný. Co z toho plyne pro derivaci, tj. pro nalezený zlomek? Y je kladné, Y + 1 je tím spíš vždy kladné. Rovněž celý zlomek 1 / (1+Y) je kladný. Derivace spotřební funkce je kladná. Pro spotřební funkci z toho tedy plyne, že Spotřební funkce je rostoucí (C´ > 0, C je rostoucí). Odkaz na literaturu Makroekonomie,                               Materiál Spotřební a úsporová funkce v repository