Úkol č. 6

Úkolem č. 6 bylo pochopit pojem "HLADKOST" a dokázat jej vysvětlit exaktně.


Hladká funkce

HLADKÁ FUNKCE je spojitá, má-li ve všech bodech SPOJITOU DERIVACI. ÚHLY tečen i jejich tangens (= hodnoty derivace funkce f pro postupně volená x) se mění spojitě.


Grafické zobrazení:

Hladká funkce

Lomená čára

Derivace LOMENÉ ČÁRY NENÍ SPOJITÁ, protože úhly tečen se mění SKOKEM (dlouho sedí na jedné hladině a až ve zlomu se změní).

Grafické znazornění:

Lomená čára

Příklady


V tomto příkladě je grafem funkce LOMENÁ ČÁRA, tzn. že její derivace NENÍ SPOJITÁ.

Příklad č. 1

 
Na obrázku níže můžeme vidět, že grafem funkce je HLADKÁ KŘIVKA, tzn. že její derivace SPOJITÁ JE.

Příklad č. 2

ÚKOL Č. 5

Spotřební funkce a její proměnné

Ze začátku bychom si měli osvěžit něco málo o spotřební funkci a jejích proměnných. 

Spotřební funkce je makroekonomická veličina, na vlastní kapse se však o spotřebě uvažuje lépe, proto bude využívána i v dalším popisu.

My jako spotřebitelé spotřebováváme podle toho, co máme „v kapse“. V obecné makroekonomii ovšem řekneme spotřeba (C) ZÁVISÍ na důchodu (Y).

Důchod je tedy Y a je nezávisle proměnná a spotřeba C je závisle proměnná.

Funkce f vyjadřuje vztah, který mezi proměnnými existuje. Tento vztah zaznačíme jako:

C = f (Y).

Spotřební funkce NEPROCHÁZÍ počátkem, ale vychází z hodnoty na ose C větší než nula (bod X). 

I při nulovém důchodu musí existovat spotřeba. Spotřeba při nulovém důchodu se nazývá AUTONOMNÍ.

Jak je možné spotřebovávat, když je důchod nulový? Kde se bere na spotřebu? Ve dvousektorové ekonomice (zde se nyní modelově nacházíme) nepřichází v úvahu žádné sociální dávky nebo něco blízkého – kde tedy můžeme vzít? Jedině z úspor!

Při nulovém důchodu potřebujeme na spotřebu hodnotu C₀. Tuto hodnotu spotřeby lze realizovat jedině tak, že ji vezmeme z úspor. Úspory proto v tu chvíli musí mít stejnou hodnotu jako spotřeba, ale zápornou – prostě tolik chybí.

Již víme, že při nulovém důchodu spotřebováváme na dluh. Uvažujme, že důchod roste, již má nějakou hodnotu – stále však žijeme na dluh, tedy z úspor. Jak dlouho? Kdy to skončí?

Pro hodnotu, nazývanou rovnovážný důchod se přestává spotřebovávat z úspor.

1. Lineární spotřební funkce s autonomní spotřebou, mezní sklon ke spotřebě

2. Lineární spotřební funkce i s úspory

Popis obrázku 1: „C0“ je autonomní spotřeba. „c“ označuje mezní sklon ke spotřebě – v ekonomii. Lineární funkce je matematicky vyjádřena jako y = k . x + q, kde k je směrnice přímky, (derivace) neboli její sklon.  C je stejné jako k a C0 je totéž jako q.     Mezní sklon ke spotřebě u lineární funkce   Mezní sklon ke spotřebě také značený MPC říká, jaký je SKLON SPOTŘEBOVÁVAT tzn. popisuje rychlost změn spotřební funkce v každém jejím bodě. U lineární funkce je mezní sklon konstantní, jelikož přírůstky závisle proměnné deltaC odpovídají stále stejným jednotkovým přírůstkům nezávisle proměnné deltaY. MPC je menší než 1, protože: 1=mpc + mps Je správné kreslit PŘÍMKU Důležité je si zodpovědět otázku: „Je správné kreslit spotřebu jako přímku, je spotřební funkce lineární?“ jak by se tázal matematik. NIKOLIV. Proč? Lineární funkce znamená, že ke stejně velkému přírůstku nezávisle proměnné (delta x) náleží stále stejně velký přírůstek závisle proměnné (delta y).  „Zvětší-li se důchod o 1 000 Kč, nezáleží na tom, zda jsem chudý nebo boháč, stále spotřebuji z tohoto dodatečného tisíce stejný kus“, říká lineárnost funkce. To však není pravda. Jsem-li chudý, nebo mám-li dokonce dluhy, každý další tisíc („dodatečná jednotka“, jak by řekl ekonom) hned utratím, ale jsem-li boháč, kus uspořím, uložím (a stanu se ještě bohatším, ale to sem nepatří). Nelineární spotřební funkce Nelineární spotřební funkce se zachycením autonomní spotřeby a úspor Funkční předpis pro spotřební a  úsporovou funkci Matematický zápis spotřební funkce C: C = ln (Y + 1) + 2,   Y >0   (důchod je vždy kladný) Matematický zápis úsporové funkce S: S = Y – [ln (Y + 1) + 2],   Y >0   (důchod je vždy kladný) Vydělám Y, utratím C. To, co zbude, „ušetřím“. Bude to S. Proto mi vznikne rovnice S = Y - C Ekonom využívá ke svému rozhodování a řízení sklon průměrný (na intervalu) a sklon mezní (v bodě).První sklon je méně přesný. Mezní sklon je využíván častěji. Mezní sklon každé spojité diferencovatelné funkce obdržíme jejím derivováním. DERIVACE spotřební funkce tj. mezní sklon ke spotřebě je dán vztahem: Místo C´ se používá MPC. Víme, že důchod Y je vždy kladný. Co z toho plyne pro derivaci, tj. pro nalezený zlomek? Y je kladné, Y + 1 je tím spíš vždy kladné. Rovněž celý zlomek 1 / (1+Y) je kladný. Derivace spotřební funkce je kladná. Pro spotřební funkci z toho tedy plyne, že Spotřební funkce je rostoucí (C´ > 0, C je rostoucí). Odkaz na literaturu Makroekonomie,                               Materiál Spotřební a úsporová funkce v repository

Úkol č. 4

Nakreslete pod sebe 3 související grafy (stejné měřítko na ose nezávisle proměnné). V prvním nakreslete zvolenou funkci, ve druhém její derivaci, ve třetím její druhou derivaci. Popište co nejvíce, co umíte z funkcí vyčíst, např. kdy (tj. pro které hodnoty nezávisle proměnné) je ta která funkce např. rostoucí a proč - ukažte, jak se projevuje na navazujícím grafu ...

Úkol č. 3

Procvičte si dané pojmy, případně jiné související problémy.

Jednou z možností je nakreslit pod sebe dva grafy (stejné měřítko na ose nezávisle proměnné). Do horního obrázku funkci (např. s extrémy, inflexními body apod.) a do spodního obrázku její derivaci. Pozor na souvislosti - zvýrazněte je, popište.

Reagujte, prosím, na příspěvky svých kolegů, komentujte, vyjadřujte souhlas, pochybnosti, zdůvodňujte apod.

Úkol č. 2 LINEÁRNÍ MODEL

Lineární model budeme potkávat celý semestr. Připomeňte si co nejvíce o funkci: y = k.x + q.

Zakreslete různá zadání, popište, kde a jak se projevuje hodnota k, jak hodnota q. Najděte např. funkci IS nebo LM a určete, jaký má sklon, jaký posun, zakreslete ji do osových souřadnic, popište co nejpečlivě, co všechno jste si uvědomili.

Které ekonomické veličiny mohou způsobit posun některé z konkrétních ekonomických přímek (např. IS, LM, D, S aj.)? Zakreslete a popište.

Které ekonomické veličiny mohou způsobit otočení některé z konkrétních ekonomických přímek (např. IS, LM, D, S aj.)? Zakreslete a popište.

Materiál, který si vytvoříte při svém učení se, vložte zde elektronicky do fóra. Variant toho, co můžete vytvořit je dost pro každého!

Úkol č. 1

Záměna os může být osudná!

________________________________________

• Prolistujte svou ekonomickou knihu a najděte graf, ve kterém jsou nezávisle a závisle proměnná na opačných osách, než je v matematice obvyklé.
• Simulujte chybu, které byste se mohli záměnou dopustit.
• Pokud nenajdete nic jiného, zaměřte se na S-D model - nelineární! Pozor na "prohnutí" křivek - opticky je pokaždé jiné.
• Popište a zobrazte, např. naskenováním, kreslením v MS PowerPointu apod., situaci a svůj výsledek umístěte elektronicky do fóra prvního týdne.
• Reagujte na analogické příspěvky svých kolegů.
• Pokud máte neshody, nejasnosti, problémy, pište Zprávu (zde v Moodle) pedagogovi.

Další podoba úkolu:

• Nakreslete vedle sebe dva stejné grafy s lineární funkcí (do mřížky s měřítkem); jednou označte x - nezávisle proměnnou na vodorovnou osu, podruhé na svislou.
• Ke každé z funkcí napište rovnici: vlevo je u stejné funkce jiný předpis než vpravo (sledujte změny rychlostí; popište rychlosti a posuny ke grafům).

Další podoba úkolu:

• Nakreslete lineární funkci do grafu s nezávisle proměnnou x na vodorovné ose. Zapište její předpis.
• Nakreslete funkci s tímtež předpisem do vedlejšího obrázku s osou nezávisle proměnné x na svislé ose.

 

Několik definic na úvod

Ekonomie - je vědou, která studuje způsob, jakým lidé používají vzacné, omezené zdroje k výrobě užitečných statků a služeb a jak si tyto statky a služby rozdělují a vzájemně směňují.

Poslaním ekonomie je hledání a nalézání takových způsobů umístění  a využití vzácných zdrojů, které vedou k co nejefektivnějšímu dosažení lidských cílů (individuálních, skupinových nebo celospolečenských).

(Jurečka, Václav a Jánošíková, Ivana. MAKROEKONOMIE: Učební text pro bakalářské sudium. VŠB - TUO. 2008. ISBN 978-80-248-0910-6.)

Matematika - pochází z řeckého slova mathématikos což v překladu znamená "poučný". Původně se zabývala studiem čísel a geometrických tvarů s tím, že abstrahovala postupně od měr, až vznikl pojem číslo, rozvíjela postupy řešení zaváděním operací, rozvíjela algoritmy řešení problémů pomocí logiky a svůj symbolický jazyk (matematika) s užitím matematických znaků

<http://www.geneze.info/pojmy/matematicke_pojmy.htm>

Charakteristickou vlastností matematiky je její důraz na absolutní přesnost metod a nezpochybnitelnost výsledků. Tyto vlastnosti, které matematiku odlišují od všech ostatních vědních disciplín, mají původ již v antickém Řecku. Nejstarším dochovaným příkladem tohoto přístupu je kniha řeckého matematika Euklida Základy pocházející z 4. století př. n. l.

<http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematika>